[Statistics] MGF(Moment Generating Function), Binomial Theorem

1. MGF(Moment Generating Function)

Q. Binomial Distribution의 MGF가 무엇인가?

 

Q1. MGF가 뭔데

 

Moment: 랜덤변수의 분포를 나타내는 주요 정보 .. E[X^n]으로 표현

1차 Moment = E[X^1] → 평균

2차 Moment = E[X^2] → 1차와 조합하여 분산 표현

3차 Moment = E[X^3] ...

Moment 정보들이 더 많을수록 랜덤변수를 구체적으로 이해할 수 있게 됨

 

그러면 분포마다 Moment가 있다는 건데.

Moment는 어떻게 알 수 있을까?

Moment를 생성하는 함수가 따로 있음. 그게 MGF임! ㅎㅎ

 

 

어떤 RV X에 대하여

가 정의되는 t가 존재하는 경우 

Mx(t) = X의 moment generating function (실제 입력변수는 t, 어차피 t=0만 입력하긴 함)

 

을 통해 Mx(t)가 정의된다.

단순히 E[e^(tX)]를 적분 형태로 풀어쓴 후 양변 미분해버리면 저런 꼴이 나옴

랜덤변수 X에 대해, t=0 입력할 때 n번째의 moment가 생성되는 구조,,

 

Q2. MGF에 대한 추가 성질

(1)

 

proof

 

(2)

 

(3)

서로 독립적인 포아송분포의 RV / 가우시안분포 RV

들의 합으로 이루어진 새로운 RV

-> 마찬가지로 포아송분포 / 가우시안분포를 따름

 

그 proof를 MGF를 가지고 해버리네

 

여러 RVs가 exponential 분포 따르면서 + iid관계이면 => 그 RVs의 합은 어랑분포를 따름

 

 

---

 

- 새로운 MGF가 나타났을 때 각 moment들을 계산할 줄 알아야 하고

- 새로운 분포에 대해 그것의 MGF를 구할 줄 알아야 함

 

Q. Binomial Distribution의 MGF가 무엇인가?

 

https://elementary-physics.tistory.com/135

 

 

 

2. Binomial Theorem

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_theorem

 

진짜로 그러하다

 

 

3. Central Limit Theorem은 다음 기회에 ..😊

 

---

https://elementary-physics.tistory.com/135

[통계학] 2.3 분산, 모멘트 생성 함수 Variance, Moment Generating Functions